Program Akadémie 2014

Pri diagnostikovaní rôznych ochorení, ako aj pri základnom výskume sú čoraz bežnejšie neinvazívne metódy, napr. počítačová tomografia (CT), magnetická rezonancia (MRI), sonografia (US), alebo aj pozitrónová emisná tomografia (PET). Cieľom prednášky je vysvetliť fyzikálne princípy, na ktorých sú tieto metódy založené, ich použitie, históriu ale aj perspektívy ich vývoja v budúcnosti.

Napriek veľkej rýchlosti súčasných počítačov stále existujú dôležité a zdanlivo jednoduché problémy, (napr. problém obchodného cestujúceho), ktoré aj napriek veľkej snahe odborníkov nevieme vyriešiť pomocou počítačov, aj keby počítali veľa rokov. Povieme si, ako nám môžu v niektorých prípadoch pomôcť tzv. aproximačné algoritmy. Budeme tiež hovoriť o pravdepodobnostných algoritmov - tie síce dávajú v niektorých výpočtoch chybné výsledky, ale môžu riešiť niektoré problémy rýchlejšie. Ukážeme si, ako jednoducho znížiť počet chybných výpočtov na zanedbateľné množstvo a ako pomocou takýchto algoritmov vypočítať číslo “pí” (3.14…) simuláciou streľby na terč, keď strieľa veľmi nekvalitný strelec.

V prednáške uvedieme diskrétny tvar Cauchyho nerovnosti, niektoré dôkazy tejto nerovnosti, jej možnú geometrickú interpretáciu a niekoľko aplikácií v matematických úvahách. Na záver budeme diskutovať o istom zovšeobecnení tejto nerovnosti.

Čo si obliecť skôr, tričko alebo sveter? Ponožky alebo nohavice? A čo keď som si večer jednu ponožku zabudol vyzliecť? Ĺudia plánujú svoje činnosti stále. Niekedy je to rutina, niekedy sa však treba vysporiadať s nečakanými situáciami. Počítače tiež vedia plánovať. Niektoré veci im však idú ľahšie ako ľudom, a niektoré zas ťažšie. Nájsť najkratšiu cestu do školy? Jasné! Spraviť raňajky a vychystať deti do školy? Hmm…, a ako uvarím ten čaj?

V aplikáciách geometrie, napríklad v obuvníctve a v odevnom priemysle, sa rovinné oblasti často nahrádzajú mnohouholníkmi. Takéto mnohouholníky sa svojím nepravidelným tvarom a veľkým počtom vrcholov výrazne odlišujú od objektov známych zo školy. Oboznámime sa s niektorými vlastnosťami takých mnohouholníkov. Napríklad ako mnohouholník vytvoriť z navzájom pekne k sebe poprikladaných trojuholníkov, ako výpočtom zistiť, či sa daný bod nachádza v mnohouholníku, ako vypočítať obsah mnohouholníka a podobne.

Príbeh o fyzike a komunikácii pomalej aj nekonečne rýchlej, verejnej aj dokonale utajenej. Oddávna ľudia po sebe kričia, posielajú dymové signály, telegrafujú po drôte aj bez neho, alebo si blikajú laserom. Nič z toho nám nepomôže preniesť informáciu na diaľku okamžite. Je naozaj rýchlosť komunikácie obmedzená fyzikou? Budeme sa spolu pýtať, či by nám nepomohli zvláštne (previazané) stavy kvantovej mechaniky a kolaps vlnovej funkcie pri meraní. Umožní nám to okamžite komunikovať (a ak nie, prečo)? Či bude odpoveď taká alebo onaká, na niečo zaujímavé to potom použijeme.